Hotel de Hilbert

Hilbert imaginó un hotel con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4... Un noche que estaba el hotel completamente ocupado llegó un cliente pidiendo una habitación. El gerente, que en sus ratos libres se dedicaba a las matemáticas, no vio problema ninguno: hizo que cada cliente se moviese a la habitación siguiente, de modo que el de la habitación 1 pasase a la 2, el de la 2 a la tres, y así sucesivamente, de modo que todo el mundo quedó alojado y la habitación 1 libre para el recién llegado.

Al día siguiente la situación fue aún más complicada, pues llegó un autocar con infinitos turistas necesitados de habitación. El gerente, que no se arredraba ante nada, hizo que el ocupante de la habitación 1 pasase a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 4 a la 8, y así sucesivamente según la regla n ► 2n, de modo que todas las habitaciones impares quedaron disponibles para los nuevos huéspedes.

La paradoja de Galileo

Llamenos cuadrados a aquellos números que se obtienen multipicando un numero natural por sí mismo: 1, 4, 9... A los números que los generan los llamaremos raíces. Así, 1 es raíz de 1, 2 de 4, 3 de 9...

     1.  Hay tantas raíces como cuadrados, pues cada raíz genera un cuadrado y todo cuadrado tiene por definición raíz.

     2.  Hay tantas raíces como números naturales, pues todo número es raíz de su cuadrado.

Conclusión: hay tantos cuadrados como números en total, lo cual es paradógico, pues no todos los números son cuadrados. De hecho, cuanto mayores son los números, menor es la cantidad de cuadrados. Por ejemplo, del primer millón de números, solo mil son cuadrados.
 

La paradoja de Condorcet

Una paradoja de las votaciones introducida por el Marqués de Condorcet (1785), un precursor de las paradojas de las votaciones.

Supongamos 3 votantes X, Y, Z que votan, dando orden de preferencia, sobre tres posibles alternativas A, B, C, como sigue: X={A,B,C}, Y={C,A,B}, Z={B,C,A}.

Entonces, A es preferido a B con una mayoría de 2 sobre 1, B es preferido a C con una mayoría de 2 sobre 1 y C es preferido a A con una mayoría de 2 sobre 1. Por lo tanto, la comparación simple de pares de candidatos no puede determinar una preferencia entre las tres alternativas.

Explicación de La paradoja de Condorcet: John Allen Paulos en ‘El hombre anumérico’ describe la siguiente variante del ejemplo original de Condorcet, “consideremos tres candidatos que se presentan para un cargo público, a los que llamaré Dukakis, Gore y Jackson en conmemoración de las elecciones primarias de los demócratas en 1988.

Supongamos que la preferencia de un tercio de los electores ordena los candidatos así: Dukakis, Gore, Jackson; que otro tercio los ordena: Gore, Jackson, Dukakis, y que el tercio restante los prefiere en el orden Jackson, Dukakis, Gore. Hasta aquí nada que decir. Pero si examinamos los posibles emparejamientos de los candidatos, nos encontramos con una paradoja. Dukakis se jactará de que dos tercios del electorado le prefieren a Gore, a lo que Jackson contestará que dos tercios del electorado le prefieren a Jackson. Finalmente, Gore podrá decir que dos tercios del electorado le prefieren a Jackson. Si las preferencias sociales se determinan por votación, “la sociedad” prefiere Dukakis a Gore, Gore a Jackson, y Jackson a Dukakis”. William V. Gehrlein (Condorcet’s Paradox, Theory and Decision 15 (1983), 161-167) llama al resultado descrito la situación de “no-ganador”, la cual depende de la existencia de una mayoría cilíndrica. En tanto que la paradoja de Condorcet muestra una limitación de un mecanismo particular de votaciones, es potencialmente preocupante para los arquitectos de sistemas democráticos. La preocupación práctica dada por la posibilidad de mayorías cilíndricas debería estar directamente correlacionada con la probabilidad de una tal situación. Analizando intentos de estimar la probabilidad de mayorías cilíndricas, Gehrlein descubre que la probabilidad de una mayoría cilíndrica aumenta cuando el número de opciones aumenta, y decrece cuando el número de votantes aumenta. Además, él obtiene una estimación de entre 1 y 12 % la probabilidad de una situación de “no-ganador”.
Quizás esta probabilidad es suficientemente baja como para que los técnicos de la democracia la ignoren.

 

La paradoja del mentiroso

“Todos los cretenses son unos mentirosos” (Epiménedes, vivió en Creta hacia el siglo VI a.C.)

¿Decía el cretense Epiménedes la verdad?

Explicación: Epiménides fue un legendario poeta griego que vivió en Creta hacia el siglo vi a. de C. Uno de los mitos que de él se cuentan dice que en cierta ocasión estuvo durmiendo durante cincuenta y siete años. La frase que se le atribuye da pie a una contradicción lógica si se admite que los mentirosos mienten

siempre, mientras que las personas que no son mentirosas—las llamaramos veraces—dicen siempre la verdad. Con estas hipótesis, la declaración «Todos los cretenses son mentirosos no puede ser verdadera, porque entonces Epiménides sería mentiroso, y, por tanto, esto que él nos dice tiene que ser falso. Por otra parte, tampoco puede ser falsa, porque se deduciría entonces que los cretenses son veraces, y, por consiguiente, lo que Epiménides dice sería verdad. A los antiguos griegos les tenía perplejos que enunciados de apariencia perfectamente clara no pudieran ser ni verdaderos ni falsos sin contradecirse a si mismos. Un filósofo estoico, Crisipo, escribió seis tratados acerca de la paradoja del mentiroso, de los que ninguno ha llegado a nuestros días. Filetas de Cos, otro poeta griego, tan flaco que se decía de él que llevaba los zapatos lastrados con plomo para no ser arrastrado por el viento, se cavó temprana tumba de tanta angustia que le causaba. En el Nuevo Testamento, san Pablo reproduce la paradoja en su epístola a Tito: Dijo uno de ellos, su propio profeta: «Los cretenses, siempre embusteros, malas bestias, panzas holgazanas» Verdadero es tal testimonio...

(Tito 1:12-13). No sabemos si San Pablo cayó en la cuenta de la paradoja implícita en estas frases.

Existen infinidad de variantes. Un sencilla que elimina toda ambigüedad acerca de si los mentirosos mienten siempre y de si los veraces dicen siempre la verdad es: Esta frase es falsa. En ciertan ocasión, Bertrand Russell manifestó estar convencido de que el filósofo G. E. Moore había mentido tan sólo una vez en su vida. Al preguntársele a Moore si siempre decía la verdad, este se lo pensó un instante y respondió:
“No”.


 

La paradoja de Monty

El Problema de Monty Hall es un problema de probabilidad que está inspirado por el concurso televisivo estadounidense Let's Make a Deal. Su nombre proviene del nombre del presentador, Monty Hall. El enunciado del problema es el siguiente:

“Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para tí cambiar tu elección?”

Esa pregunta ha generado un intenso debate y han sido muchas las publicaciones al respecto. La respuesta se basa en suposiciones que no son obvias y que no se encuentran expresadas en el planteamiento del problema. La respuesta correcta parece contradecir conceptos básicos de probabilidad, se puede considerar como una paradoja. Pero, veamos la solución, la misma se basa en tres suposiciones básicas:

a) Que el presentador siempre abre una puerta.

b) Que la escoge entre las restantes después de que el concursante escoja la suya.

c) Que tras ella siempre hay una cabra.

Como podemos ver, estas suposiciones no se encuentran explícitamente en el enunciado. La discusión del problema nos lleva a siguiente solución: si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar siempre su elección.